Demostración de óptimo no

npj Quantum Information volumen 8, Número de artículo: 84 (2022) Citar este artículo

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La discriminación del estado cuántico es un problema central en la teoría de la medición cuántica, con aplicaciones que van desde la comunicación cuántica hasta la computación. Los paradigmas de medición típicos para la discriminación de estados implican una probabilidad mínima de error o una discriminación inequívoca con una probabilidad mínima de resultados no concluyentes. Alternativamente, una medición no concluyente óptima, una medición no proyectiva, logra un error mínimo para una probabilidad no concluyente dada. Esta medida más general abarca los paradigmas de medida estándar para la discriminación de estado y proporciona una herramienta mucho más poderosa para la comunicación y la información cuántica. Aquí, demostramos experimentalmente la medición inconclusa óptima para la discriminación de estados coherentes binarios utilizando óptica lineal y detección de fotón único. Nuestra demostración utiliza operaciones de desplazamiento coherentes basadas en interferencia, detección de fotones individuales y retroalimentación rápida para preparar la política de retroalimentación óptima para la medición cuántica no proyectiva óptima con alta fidelidad. Esta medida generalizada nos permite hacer la transición entre paradigmas de medida estándar de forma óptima desde un error mínimo hasta medidas inequívocas para estados coherentes binarios. Como caso particular, usamos esta medida general para implementar la medida óptima de error mínimo para estados de fase coherente, que es la modulación óptima para comunicaciones bajo la restricción de potencia promedio. Además, proponemos una medida híbrida que aprovecha la medida inconclusa óptima binaria junto con la eliminación de estado secuencial e inequívoca para realizar mediciones inconclusas de mayor dimensión de estados coherentes.

La teoría de la medición cuántica proporciona una comprensión fundamental de los límites de la sensibilidad alcanzable para distinguir los estados cuánticos1,2,3. Las estrategias físicamente realizables que alcanzan, o incluso se aproximan, a los límites de sensibilidad finales para distinguir estados coherentes no ortogonales tienen una amplia gama de aplicaciones en comunicación óptica4,5,6,7,8,9, criptografía10,11,12,13,14,15 ,16,17 y procesamiento de información cuántica18,19,20. Un problema central en la teoría de la medición cuántica y el procesamiento de la información cuántica es la discriminación entre dos estados cuánticos \(\left|{\psi }_{1}\right\rangle\) y \(\left|{\psi }_{2 }\right\rangle\) con una cierta medida óptima dado un criterio de optimalidad, dependiendo de la aplicación específica2,21,22.

Dos paradigmas de medición fundamentales para la discriminación de estado cuántico implican un error mínimo o una discriminación de estado inequívoca. La discriminación de estado de error mínimo (MESD) tiene como objetivo lograr una probabilidad mínima de error PE23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34. El límite de Helstrom24 proporciona el límite último para PE, que se logra mediante mediciones proyectivas en superposiciones complejas de estados cuánticos. En particular, la medición óptima de MESD para estados coherentes binarios se puede realizar con óptica lineal, detección de fotón único y retroalimentación rápida35,36. Por el contrario, la discriminación de estado inequívoco (USD) permite una discriminación perfecta con PE = 0, pero requiere una probabilidad distinta de cero de resultados no concluyentes PI ≠ 0. Tal medida no proyectiva se describe mediante una medida de valor de operador positivo (POVM) con tres elementos2,37,38, y pretende conseguir el menor PI posible39,40,41,42,43,44,45,46,47. La realización de USD óptimo de estados coherentes binarios no requiere retroalimentación12,48,49, lo que permite implementaciones más simples45,50 en comparación con MESD óptimo.

Si bien existen mediciones proyectivas óptimas para ciertas tareas de discriminación binaria2,24,51,52, la teoría de la medición cuántica permite una clase más amplia de mediciones cuánticas generalizadas que no son proyectivas. Estas mediciones generalizadas proporcionan una herramienta más poderosa para el procesamiento y las comunicaciones de información cuántica2. Entre estas mediciones cuánticas generales, la medición no concluyente óptima logra la menor probabilidad de error posible para una probabilidad fija de resultados no concluyentes37,53. Esta medida es una medida no proyectiva y, por lo tanto, descrita por un POVM no proyectivo, que abarca los paradigmas de medición MESD y USD. Además, las mediciones cuánticas no proyectivas permiten tareas de discriminación más exóticas, como la eliminación de estados cuánticos54, la comparación de estados55,56,57 y la discriminación con un margen de error fijo58. Además, comprender las medidas no concluyentes óptimas para estados binarios puede proporcionar un camino para realizar POVM no proyectivos arbitrarios en un espacio de Hilbert bidimensional59,60.

El trabajo teórico sobre la teoría de la medición cuántica ha demostrado que es posible realizar una medición no concluyente óptima para una amplia clase de estados cuánticos basados en operaciones locales y comunicaciones clásicas58,61,62. Sin embargo, los operadores de medida correspondientes para la discriminación de estados ópticos coherentes no tienen necesariamente una realización física factible. Si bien las mediciones no concluyentes subóptimas de estados coherentes se pueden realizar en base a la óptica lineal y la detección de un solo fotón63, su rendimiento no alcanza el rendimiento de la medición no concluyente óptima. Trabajo reciente en ref. 64 propuso una realización física de una estrategia para la medición no concluyente óptima de estados coherentes binarios. Se demostró que una medida no proyectiva de este tipo se puede realizar utilizando operaciones de desplazamiento, detección de un solo fotón y retroalimentación64, que son los mismos elementos físicos necesarios para implementar medidas proyectivas binarias arbitrarias52,65.

En este trabajo, demostramos experimentalmente la medición no concluyente óptima para estados coherentes binarios64. La medida divide la energía del estado de entrada en dos modos temporales. Realiza una medición MESD en el primer modo proporcionando resultados concluyentes con una cierta probabilidad de error, y una medición no concluyente óptima en el dominio de un solo estado en el segundo modo determinando si el resultado de la medición no es concluyente. Nuestra demostración utiliza retroalimentación en tiempo real de bajo ruido y alto ancho de banda condicionada en detecciones de un solo fotón para preparar las operaciones de desplazamiento óptimas requeridas para la medición óptima no concluyente. Además, usamos esta medición óptima generalizada para realizar el MESD óptimo para estados de fase coherente, que es la modulación óptima para comunicaciones ópticas bajo la restricción de potencia promedio, demostrando así el receptor cuántico óptimo para comunicaciones ópticas coherentes. Por último, mostramos que la medición inconclusa óptima binaria permite la realización de la discriminación inconclusa de tres estados coherentes cuando se usa junto con mediciones para la eliminación inequívoca de estados basada en pruebas de hipótesis. Este método propuesto puede, en principio, extenderse a estrategias de medición no concluyentes de alta dimensión de estados coherentes.

La medida no concluyente óptima es una medida cuántica no proyectiva que abarca los paradigmas MESD y USD y optimiza el equilibrio entre errores y resultados no concluyentes37,53. Por construcción, la medición no concluyente óptima logra la probabilidad de error mínima PE para una probabilidad no concluyente especificada PI2,64. Una realización factible del POVM para la medición no concluyente óptima \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{2},{ \hat{{{\Pi }}}}_{?}\}\) para estados coherentes binarios se propuso recientemente en la ref. 64. En particular, esta medición no proyectiva óptima puede, en principio, realizarse mediante una generalización del receptor óptimo para MESD, denominado receptor Dolinar. Este receptor MESD óptimo se basa en operaciones de desplazamiento en el espacio de fase implementadas al interferir el estado de entrada con un campo de oscilador local (LO), detección de fotón único y retroalimentación con una política de retroalimentación óptima. El desplazamiento tiene una magnitud dada por una forma de onda óptima y una fase condicionada a la detección de fotones35,36,66.

La Figura 1a muestra el concepto de la medición no concluyente óptima. El estado de entrada \(\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle\) y el fuerte campo LO interfieren en un divisor de haz de alta transmitancia para implementar una operación de desplazamiento \(\hat{D}(u(t) )\). El receptor implementa la forma de onda de desplazamiento óptima u(t), donde la fase del LO cambia entre 0 y π en función de los resultados de detección de fotones del detector de fotón único (SPD) durante el tiempo de medición. En la propuesta de estrategia de discriminación inconclusa óptima64, el receptor generalizado realiza mediciones óptimas en dos modos temporales durante el tiempo de medición 0 ≤ t ≤ 1 utilizando operaciones de desplazamiento, detección de fotón único y retroalimentación. En el primer modo temporal (0 ≤ t ≤ t1), el receptor realiza una medición MESD óptima para discriminar entre \(\{\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle \}\) con un error mínimo usando la forma de onda de desplazamiento óptima35,36,64,66. En el segundo modo temporal (t1 < t ≤ 1), el receptor realiza una medición no concluyente óptima en el llamado dominio de estado único, donde la medición se convierte en una medición proyectiva tal que el elemento POVM para el estado menos probable es cero, por ejemplo, \({\hat{{{\Pi }}}}_{2}=0\)58,64. Sin pérdida de generalidad, el estado más probable después del primer modo es \(\left|\alpha \right\rangle\), y los elementos POVM distintos de cero son \({\hat{{{\Pi }}}} _{1}\) y \({\hat{{{\Pi }}}}_{?}\). Por lo tanto, el receptor en el segundo modo temporal intenta determinar si el resultado de la medición no es concluyente, es decir, el receptor realiza una medición MESD entre los resultados correctos y no concluyentes. La referencia 64 muestra que esta medición proyectiva en el segundo modo temporal (dominio de estado único) puede realizarse mediante un receptor tipo Dolinar con una forma de onda de desplazamiento óptima diferente, que es el elemento clave que aprovechamos para demostrar la medición no concluyente óptima. La forma de onda de desplazamiento total u(t) que implementa la medición no concluyente óptima viene dada por64:

Donde N1(t) y N2(t) son el número total de fotones detectados hasta el tiempo t para el primer y segundo modo temporal, respectivamente, y N0 ∈ {0, 1} basado en ∣α∣2, PI y p64 . La forma de onda óptima total u(t) se compone de u1(t) y u2(t), cada una de las cuales es óptima para los dos modos temporales (consulte la sección "Métodos" para obtener más detalles). La magnitud de u(t) está predeterminada en función de los valores de ∣α∣2, PI y p, pero el signo de u(t) (fase del LO) cambia adaptativamente entre positivo y negativo (fase LO de 0 y π) cada detección de fotones debido a \({(-1)}^{{N}_{1}(t)}\) y \({(-1)}^{{N}_{2}( t)+{N}_{0}}\) términos.

a Esquema del receptor generalizado para la medición no concluyente óptima. Los estados de entrada se desplazan en el espacio de fase usando una forma de onda u(t) óptima para el campo LO y seguidos por un detector de fotón único (SPD) y operaciones de retroalimentación. b Magnitudes de forma de onda óptimas ∣u(t)∣ para diferentes números medios de fotones |α|2 (panel superior). El panel inferior muestra un ejemplo de la forma de onda u(t) para un registro de medición particular donde la fase LO cambia entre 0 y π cada detección de fotones (Detecciones de fotones, panel central). Los círculos a lo largo del eje x muestran la hipótesis actual para el estado de entrada a medida que avanza la medición. c Probabilidad de error PE para la medición no concluyente óptima en función de la probabilidad especificada de resultados no concluyentes PI para ∣α∣2 = 0.2, 0.4 y 0.6. Los círculos de colores a lo largo del eje y (PI = 0) corresponden al PE más pequeño posible en el paradigma de MESD, y los cuadrados de colores a lo largo del eje x (PE = 0) corresponden al PI más pequeño posible en el paradigma de USD . d Configuración experimental utilizada para demostrar las mediciones no concluyentes óptimas de estados coherentes binarios.

El panel superior de la Fig. 1b muestra la magnitud del desplazamiento ∣u(t)∣ para la estrategia no concluyente óptima con probabilidad no concluyente PI = 0,19 para ∣α∣2 = 0,2, 0,4 y 0,6. Los saltos discretos en ∣u(t)∣ para cada ∣α∣2 corresponden al tiempo t1 cuando el receptor cambia entre las mediciones de dos modos temporales. El receptor implementa una medición de error mínimo con un receptor Dolinar durante 0 ≤ t ≤ t1 con u1(t) entre \(\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle\). Luego, el receptor implementa la medición no concluyente óptima en el dominio de un solo estado \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{? }\}\) con un receptor tipo Dolinar durante t1 < t ≤ 1 con u2(t). El resultado final de la medición es un resultado no concluyente con probabilidad PI, un resultado de discriminación correcto con probabilidad PC o un error con probabilidad PE = 1 − PC − PI64. El panel inferior de la Fig. 1b muestra la amplitud de desplazamiento u(t) para un registro de medición de ejemplo. La hipótesis provisional (círculos) y la fase de la forma de onda cambian cada vez que se detecta un fotón. La línea discontinua roja (t1 ≈ 0.70) muestra dónde el receptor cambia de MESD de los dos estados de entrada en el primer modo temporal a MESD entre el estado más probable dado el registro de detección actual y el resultado no concluyente en el segundo modo temporal.

La Figura 1c muestra las probabilidades resultantes {PI, PE} de la medición no concluyente óptima para estados coherentes equiprobables \(\{\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle \}\) con ∣α∣2 = 0.2 , 0,4 y 0,6, en azul, naranja y amarillo, respectivamente. Los círculos de colores a lo largo del eje y (PI = 0) corresponden al PE más pequeño posible en el paradigma de MESD (Helstrom Bound), y los cuadrados de colores a lo largo del eje x (PE = 0) corresponden al PI más pequeño posible en el paradigma de USD (a veces referido como el límite de IDP39,40,41). Por lo tanto, la medición no concluyente óptima es la generalización de MESD y USD e interpola entre estos paradigmas de medición de manera óptima utilizando mediciones no proyectivas más generales. En general, la medida no concluyente óptima para la discriminación de dos estados cuánticos generales \(\{\left|{\psi }_{1}\right\rangle ,\left|{\psi }_{2}\right\rangle \}\) está representado por tres elementos POVM \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{2},{\ hat{{{\Pi }}}}_{?}\}\) donde un resultado positivo de \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1,2}\}\) indica que el estado \(\left|{\psi }_{1,2}\right\rangle\) está presente, y \({\hat{{{\Pi }}}}_{?}=\hat{ I}-{\hat{{{\Pi }}}}_{1}-{\hat{{{\Pi }}}}_{2}\) corresponde a un resultado no concluyente. Optimalidad indica que esta medida no proyectiva logra el error mínimo para una probabilidad fija de resultados no concluyentes.

Mientras que la implementación propuesta de esta medida cuántica no proyectiva en la ref. 64 es factible en principio, su demostración requiere un alto grado de control para la preparación de formas de onda óptimas con alta fidelidad, y la capacidad de realizar mediciones de retroalimentación con alto ancho de banda y bajo ruido (consulte la Nota complementaria I). Además, la validación del rendimiento óptimo requiere mediciones de potencia absoluta a nivel de fotón único. En nuestra demostración experimental, abordamos los problemas para satisfacer estos estrictos requisitos, lo que nos permite demostrar experimentalmente esta compleja medición cuántica con alta fidelidad. La Figura 1d muestra nuestra configuración experimental para la demostración de la medición no concluyente óptima para estados coherentes binarios. Utilizamos una configuración interferométrica para generar los estados de entrada y el campo del oscilador local, un detector de fotón único (SPD) y un FPGA (Altera Cyclone IV, reloj base de 50 MHz) conectado a un convertidor de digital a analógico (DAC) para implementar la forma de onda de desplazamiento óptima requerida u (t) para la medición no concluyente óptima utilizando moduladores de amplitud (AM) y fase (PM) acoplados a fibra (consulte "Detalles de configuración experimental", "Implementación de FPGA" y "Moduladores ópticos" en Métodos sección para más detalles). Estabilizamos activamente nuestro interferómetro utilizando un segundo láser de 780 nm y un circuito de retroalimentación para mantener una fase relativa bien definida (consulte "Implementación de FPGA" en la sección Métodos para obtener más detalles). Nuestra implementación logra una eficiencia de detección general η = 0.72(1) (η = ηSPDηsys donde ηSPD = 0.82(1) es la eficiencia SPD y ηsys = 0.88(1) es la transmitancia del sistema), visibilidad de interferencia ξ = 0.998(1), y conteos oscuros ν = 0.03(1) por pulso. El experimento opera a una tasa de repetición de 4 kHz, alternando entre ensayos experimentales (1024 intervalos de tiempo, 160 ns cada uno) y estabilización de interferómetro con un ciclo de trabajo de ≈66 %. También hemos realizado investigaciones numéricas de los efectos de las imperfecciones realistas descritas en la Nota complementaria I. Con base en estos estudios, observamos que la eficiencia de detección reducida degrada el rendimiento alcanzable para todos los errores y probabilidades no concluyentes. La visibilidad reducida de la interferencia y el aumento de los recuentos oscuros degradan principalmente el rendimiento de las estrategias en las que los PE o PI deseados son pequeños, es decir, cerca de los regímenes MESD y USD.

Implementamos la medida no concluyente óptima para estados coherentes equiprobables. En nuestra demostración experimental, obtenemos la evolución temporal del error \({P}_{{{\rm{E}}}}}^{\exp }(t)\), correcto \({P}_ {{{{\rm{C}}}}}^{\exp }(t)\), y no concluyente \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp } (t)\) probabilidades mediante la reconstrucción de los resultados en el posprocesamiento y compararlos con las probabilidades esperadas {PE(t), PC(t), PI(t)}64. El final no concluyente \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }(t=1)\) y el error \({P}_{{{{\rm{E }}}}}^{\exp }(t=1)\) las probabilidades para un ∣α∣2 dado corresponden a una sola realización de la medida óptima no concluyente. La figura 2a muestra los resultados experimentales para ∣α∣2 = 0,2, 0,4 y 0,6 en azul, naranja y amarillo, respectivamente. Los puntos muestran los datos experimentales \(\{{P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }(1),{P}_{{{{\rm{E}} }}}^{\exp }(1)\}\) y las barras de error representan una desviación estándar de cinco corridas experimentales de 5 × 104 experimentos independientes cada una. Las líneas negras muestran la expectativa teórica de las simulaciones de Monte-Carlo del experimento que incorpora imperfecciones experimentales (consulte la Nota complementaria IV). Observamos que obtenemos el rendimiento esperado de nuestra demostración mediante la simulación directa del experimento, incluidas las imperfecciones experimentales y otros efectos, sin necesidad de ningún procedimiento de ajuste. Las líneas grises discontinuas muestran el rendimiento ideal (η = 1) para cada número medio de fotones. Los círculos y cuadrados coloreados en el eje y y el eje x muestran el PE y el PI óptimos para MESD y USD ideales, respectivamente, para cada ∣α∣2.

a Resultados experimentales para la medición no concluyente óptima para ∣α∣2 = 0.2, 0.4 y 0.6, en azul, naranja y amarillo, respectivamente. Cada punto corresponde a los valores medidos de \(\{{P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }(1),{P}_{{{{\rm{E }}}}}^{\exp }(1)\}\) y las barras de error representan una desviación estándar de cinco conjuntos de 5 × 104 experimentos individuales cada uno. Las líneas continuas muestran los resultados esperados y las líneas grises discontinuas muestran el rendimiento ideal para cada ∣α∣2. Los círculos y cuadrados de colores en el eje y y el eje x muestran el PE y el PI óptimos para MESD y USD ideales, respectivamente. Recuadro (i): evolución de \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{\exp }\), \({P}_{{{{\rm{C}} }}}^{\exp }\), y \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }\) para ∣α∣2 = 0.2 y y \({ P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }\)=0,31. b Resultados experimentales (puntos azules) de una medición MESD óptima, el receptor Dolinar, para estados coherentes de fase \(\{\left|\pm \alpha \right\rangle \}\). Las líneas continuas grises y rojas muestran el límite de Helstrom para η = 1,0 y η = 0,72, respectivamente, y las líneas discontinuas muestran el error correspondiente para una medición homodina.

Observamos que nuestra demostración de la medición no concluyente óptima con η = 0,72 para ∣α∣2 = 0,2, 0,4 y 0,6 alcanza errores por debajo del límite de Helstrom ideal cuando PI ⪆ 0,18. Esto muestra que una implementación no ideal de la medición no concluyente óptima puede superar el límite de Helstrom ideal a expensas de tener resultados no concluyentes (notamos que mientras que el límite de Helstrom es el error de discriminación mínimo que se puede lograr mediante una medición determinista, este límite no es el error más bajo para una medición cuántica general que permite resultados no concluyentes 53. Como tal, la medición no concluyente óptima permite errores por debajo del límite de Helstrom para PI ≠ 0, y logra un error cero a una tasa de resultados no concluyentes dada por el IDP encuadernado39,40,41). El recuadro de la Fig. 2a muestra un ejemplo de la evolución de PE(t) (azul), PC(t) (naranja) y PI(t) (amarillo) a medida que avanza la medición para ∣α∣2 = 0.2 y PI ≈ 0,31. Las líneas sólidas muestran la expectativa teórica, incluidas las imperfecciones experimentales, y los puntos muestran los resultados experimentales para \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{\exp }(t)\), \( {P}_{{{{\rm{C}}}}}^{\exp }(t)\), y \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{ \exp }(t)\) cada 50 intervalos de tiempo. Tenga en cuenta que la medición cambia de una medición MESD a una medición no concluyente óptima en el dominio de un solo estado en t1 ≈ 0,57.

La medición óptima no concluyente generaliza MESD y USD64, y puede usarse para demostrar la medición óptima de MESD, el receptor Dolinar35, estableciendo PI = 0. El trabajo anterior36 demostró un receptor Dolinar para estados coherentes modulados por intensidad \(\{\left| 0\right\rangle ,\left|\alpha \right\rangle \}\) y logró un rendimiento por debajo del límite de ruido de disparo después de corregir las pérdidas del sistema y la eficiencia de detección. Sin embargo, los estados coherentes codificados en fase \(\{\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle \}\) son la modulación óptima para las comunicaciones coherentes binarias bajo la restricción de energía. Esto se debe a que este alfabeto tiene la superposición más pequeña y, por lo tanto, la mayor distinguibilidad, para una energía promedio fija de los estados48,67,68. Con este fin, utilizamos la medición no concluyente óptima para demostrar un receptor Dolinar para los estados coherentes binarios codificados en fase y, por lo tanto, demostrar el receptor cuántico óptimo para comunicaciones ópticas coherentes.

La Figura 2b muestra los resultados experimentales (puntos azules) y la probabilidad de error esperada (negro continuo) para la medición óptima de MESD, el receptor Dolinar, para estados de fase coherente junto con los límites de Helstrom (continuo) y homodino (discontinuo). El límite de Helstrom y los límites homodinos corregidos a nuestra eficiencia general (η = 0,72) se incluyen como referencia. Observamos que nuestra demostración del receptor Dolinar se acerca al límite de Helstrom corregido y muestra una excelente concordancia con las predicciones teóricas (línea negra continua). Observamos que nuestra implementación de la medición MESD óptima para estados BPSK con una eficiencia general de η = 0,72 logra PE = 0,18 para ∣α∣2 = 0,2, que está por debajo del límite homodino ideal que corresponde a la medición gaussiana óptima para BPSK67. Esta tasa de error es similar a la lograda por un receptor subóptimo sin retroalimentación en la ref. 27 usando un detector superconductor de alta eficiencia (η = 0,99) que da como resultado una eficiencia general del sistema de η = 0,91. Por lo tanto, concluimos que la estrategia demostrada aquí basada en mediciones adaptativas complejas puede potencialmente proporcionar sensibilidades más altas en general que la estrategia subóptima bajo la misma pérdida y ruido e imperfecciones experimentales realistas. En principio, la medición no concluyente óptima también permite la construcción de la medición USD óptima donde PE = 0. Sin embargo, las imperfecciones experimentales, como los conteos oscuros y la visibilidad de interferencia no ideal, impiden que el receptor logre PE = 0 (ver Fig. 2). ). Sin embargo, el marco anterior permite encontrar la forma de onda óptima para implementar esta medición óptima.

Investigamos cómo aprovechar la medición no concluyente óptima de estados coherentes binarios para permitir la discriminación de estados no concluyentes de codificaciones de dimensiones superiores. Proponemos una medida híbrida que utiliza medidas inconclusas óptimas binarias junto con la eliminación de estado inequívoco, que puede realizar una medida inconclusa no proyectiva de estados ternarios modulados por cambio de fase (TPSK) \(\{\left|\alpha \right\ rangle ,\left|\alpha {e}^{i2\pi /3}\right\rangle ,\left|\alpha {e}^{i4\pi /3}\right\rangle \}\), y puede extenderse a dimensiones superiores. Esta medida primero tiene como objetivo eliminar todos los estados de entrada posibles excepto dos a través de la prueba de hipótesis, y luego utiliza la medida no concluyente óptima en los estados binarios restantes. La Figura 3a muestra las operaciones de medición condicionadas a la detección de un solo fotón, realizadas por la medición no concluyente de alta dimensión propuesta. El receptor realiza una medición de eliminación basada en pruebas de hipótesis (región roja, Fig. 3a-i) para el estado \(\left|\alpha \right\rangle\) en una fracción f/3 del estado de entrada total. Esta medida de eliminación de estado se basa en una operación de desplazamiento de \(\left|\alpha \right\rangle\) al estado de vacío \(\left|0\right\rangle\) y la detección de un solo fotón, de modo que la detección de un fotón elimina inequívocamente \(\left|\alpha \right\rangle\) como un posible estado de entrada. Si se detecta un fotón en la primera etapa (Etapa 1), el receptor realiza una medición no concluyente binaria óptima (región azul, Fig. 3a-i) para discriminar de manera óptima entre \(\left|\alpha {e}^{i2 \pi /3}\right\rangle\) y \(\left|\alpha {e}^{i4\pi /3}\right\rangle\) usando la fracción restante 1 − f/3 de la energía de entrada. Si no se detectan fotones durante la primera etapa, el receptor realiza una medición de eliminación de estado para el estado de entrada \(\left|\alpha {e}^{i2\pi /3}\right\rangle\) también usando una fracción f/3 de la potencia de entrada total (Fig. 3a-ii) . Ahora, si se detecta un fotón en la segunda etapa (Etapa 2), una medición no concluyente óptima discrimina entre los dos estados de entrada posibles restantes usando una fracción 1 − 2f/3 de la potencia de entrada, donde el factor de 2 proviene de la primera etapa . Si no se detectan fotones en la segunda etapa, entonces el receptor prueba el estado \(\left|\alpha {e}^{i4\pi /3}\right\rangle\) en la Etapa 3, también usando una fracción f /3 del estado de entrada total (Fig. 3a-iii). Si se detecta un fotón, una medición no concluyente óptima discrimina entre los dos estados restantes ahora utilizando una fracción 1 − 3f/3 de la potencia de entrada. Si no se detectan fotones en la tercera prueba de hipótesis para la eliminación inequívoca del estado, definimos que el resultado de la medición no es concluyente.

a La medida inconclusa propuesta para los estados TPSK utiliza la eliminación secuencial de estados no ambiguos, seguida de la medida inconclusa binaria óptima (consulte el texto principal para obtener más detalles). b Probabilidad de error condicional PE/(1 − PI) en función de la probabilidad no concluyente PI para ∣α∣2 = 0,2 (azul), 0,4 (naranja) y 0,6 (amarillo). Comparamos la medida propuesta con el parámetro f = 0,66 (sólido) yf = 0,90 (discontinua) con el rendimiento de la detección heterodina ideal (punteada). Ver texto para más detalles.

La Figura 3b muestra los resultados de la simulación para la medición no concluyente propuesta de los estados TPSK basada en la medición no concluyente óptima para estados binarios para números de fotones medios ∣α∣2 = 0.2, 0.4 y 0.6. El eje x corresponde a la probabilidad no concluyente y el eje y corresponde a la probabilidad de error condicional PE/(1 − PI), es decir, la probabilidad de error dado que se obtuvo un resultado concluyente. Las líneas continuas y discontinuas muestran la medida no concluyente propuesta de tres estados coherentes con f = 0,66 y f = 0,90, respectivamente. Las líneas punteadas muestran el resultado \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{{{\rm{Het}}}}}/(1-{P}_{{{ {\rm{I}}}}}^{{{{\rm{Het}}}}})\) para usar la detección heterodina ideal, donde los resultados de medición con la mayor probabilidad de error se designan como no concluyentes hasta que se alcanza la probabilidad no concluyente deseada se logra como en la ref. 45. Los límites óptimos para USD y MESD para tres estados se representan con cuadrados y círculos en el eje x (PE = 0) y el eje y (PI = 0), respectivamente49,69.

El PI general logrado por esta estrategia contiene dos contribuciones \({P}_{{{{\rm{I}}}}}={P}_{{{{\rm{I}}}}}^{( 1)}+{P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(2)}\), donde \({P}_{{{{\rm{I}}}}} ^{(1)}\) proviene de la etapa de eliminación de estado, y \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(2)}\) de la medición no concluyente óptima binaria. En la etapa de eliminación de estados, la detección de vacío durante las tres pruebas de hipótesis da como resultado un resultado no concluyente, ya que cada estado tiene la misma probabilidad. Esto produce un límite inferior (\({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(1)}\)) en la probabilidad no concluyente alcanzable PI dependiendo de los valores de f y ∣α∣ 2. En la etapa de medición no concluyente óptima binaria, la medición propuesta define una probabilidad no concluyente "objetivo" (\({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(2)}\)) que puede ser establecido para cualquier ∣α∣2 para lograr el PI general deseado de la estrategia. Observamos que la medida propuesta con ambos valores del parámetro f, que parametriza las etapas de eliminación de estados inequívocos, puede superar la detección heterodina. Además, observamos que un valor más pequeño de f = 0.66 logra una probabilidad de error más pequeña, pero esto también pone un límite a la probabilidad no concluyente más pequeña alcanzable de PI ≈ 0.76, 0.58 y 0.45 para ∣α∣2 = 0.2, 0.4 y 0,6, respectivamente. Por otro lado, un valor mayor de f = 0,90 (líneas discontinuas) permite una probabilidad no concluyente menor pero a costa de una probabilidad de error mayor en comparación con f = 0,66 (líneas sólidas). Esta compensación se debe al hecho de que un valor mayor de f da como resultado una contribución menor a PI del resultado no concluyente durante la etapa de eliminación del estado (detección de vacío durante todas las etapas). Sin embargo, un valor mayor de f da como resultado una fracción más pequeña de la energía de entrada total del estado para la medición no concluyente óptima binaria, lo que da como resultado una probabilidad de error mayor. Entonces, la elección óptima de la fracción de energía f dependerá de la aplicación particular de esta medida propuesta. Por ejemplo, si estamos dispuestos a tolerar resultados PI más no concluyentes para lograr un umbral de error PE pequeño dado, como para comunicaciones con detección, corrección y borrado de errores70, debemos elegir un valor pequeño de f.

La medida no concluyente propuesta para tres estados se puede extender a dimensiones más altas. Con esta técnica, se puede realizar una medición inconclusa de M estados coherentes de entrada mediante la implementación de M − 1 etapas de prueba de hipótesis para la eliminación inequívoca del estado45,49, seguida de la medición inconclusa óptima binaria. Dado que la medida no concluyente óptima binaria siempre puede lograr PE = 0 para \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(2)} \,<\, 1\), hay siempre un rango de probabilidades de error para el cual esta estrategia superará la detección heterodina (nota \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{{{\rm{Het}}}}}= 0\) solo cuando \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{{{\rm{Het}}}}}=1\)), es decir, siempre hay un régimen de error donde \({P}_{{{{\rm{I}}}}} \,<\, {P}_{{{{\rm{I}}}}}^{{{{\ rm{Het}}}}}\). Idealmente, este rendimiento se logra con el valor más pequeño posible de PI, que dependerá del número de estados posibles (consulte la Nota complementaria III).

Observamos que la medición propuesta utiliza técnicas similares en la etapa de eliminación de estados como el receptor Bondurant para MESD de múltiples estados71 y el receptor USD basado en retroalimentación y eliminación de estados48. Sin embargo, la estrategia propuesta aquí hace uso de la medición no concluyente óptima de dos estados para permitir la transición entre los paradigmas de medición de MESD y USD para realizar una medición no concluyente optimizada de múltiples estados coherentes. Si bien el desempeño de la estrategia para más estados se degradará debido a la mayor probabilidad no concluyente en la etapa de eliminación del estado, esperamos que esta estrategia sirva como base para diseñar estrategias no concluyentes optimizadas en dimensiones más altas. Un posible ejemplo de estrategias de medición no concluyentes podría utilizar esquemas de medición híbridos que combinen mediciones gaussianas, como homodinas, con recuento de fotones72,73. En estos esquemas, la medición gaussiana puede eliminar un subconjunto de estados, y el conteo de fotones se usaría para la eliminación de estados en un subconjunto más pequeño de estados, seguido de la medición no concluyente óptima binaria.

Las mediciones no concluyentes óptimas son mediciones cuánticas generalizadas que abarcan paradigmas estándar de discriminación de estado, incluidos MESD y USD. Estas medidas no proyectivas permiten diversas tareas de discriminación de estados y proporcionan una herramienta más potente para el procesamiento de información clásica y cuántica17,63. En la comunicación óptica, los resultados de las mediciones no concluyentes pueden tratarse como un canal de borrado, y las mediciones no concluyentes óptimas pueden aprovecharse para aumentar la cantidad de transferencia de información mediante la utilización de códigos de comunicación adecuados para los canales de borrado70. Estas mediciones no concluyentes óptimas también pueden permitir esquemas de repetidores híbridos en los que se utilizan mediciones no concluyentes de estados coherentes para enredar memorias cuánticas remotas74,75. Avances recientes en la teoría de la medición cuántica demostraron que tales mediciones cuánticas complejas para estados binarios coherentes se pueden realizar mediante la detección de un solo fotón y operaciones locales y comunicación clásica en una medición de dos modos64. Esta estrategia de medición divide la energía del estado de entrada en dos modos temporales. Realiza una medición MESD del estado de entrada en el primer modo con una cierta probabilidad de error, y una medición no concluyente óptima en el dominio de un solo estado en el segundo modo determinando si el resultado de la medición no es concluyente. La optimización de esta medida permite lograr un error mínimo para una probabilidad no concluyente dada. Además, tales mediciones cuánticas generalizadas se pueden realizar con receptores óptimos tipo Dolinar para estados coherentes.

Aquí, demostramos experimentalmente la medida no concluyente óptima propuesta en64. Nuestra demostración utiliza operaciones de desplazamiento coherentes, detección de fotones individuales y retroalimentación rápida para implementar estas mediciones cuánticas generales no proyectivas con alta fidelidad en un sistema real. Además, usamos esta medida para demostrar el MESD óptimo para estados coherentes binarios codificados en fase, que es la modulación óptima para comunicaciones ópticas bajo la restricción de potencia promedio. Si bien nuestra demostración de prueba de principio de la medición no concluyente óptima se realizó a tasas de medición moderadas, las implementaciones futuras basadas en fotónica integrada con modulación y procesamiento ópticos de gran ancho de banda76 en espacios reducidos, junto con avances en detectores de nanocables integrados de gran ancho de banda permitirán demostraciones. en anchos de banda de GHz. Estos resultados muestran que los receptores tipo Dolinar se pueden usar para realizar una amplia variedad de mediciones dentro de un espacio de Hilbert bidimensional con las tecnologías actuales. Además, mostramos cómo se puede aprovechar la medición no concluyente óptima binaria para realizar mediciones no concluyentes en dimensiones más altas con mediciones híbridas mediante la eliminación secuencial de estados inequívocos de múltiples estados. Nuestro trabajo contribuye a nuestra comprensión de los límites fundamentales y prácticos de las mediciones basadas en la detección de un solo fotón, las operaciones de desplazamiento coherente y la retroalimentación, y puede mejorar nuestra comprensión de la teoría de la medición cuántica59. Además, estas técnicas de medición pueden potencialmente permitir implementaciones de mediciones no proyectivas más generales en espacios bidimensionales utilizando óptica lineal y detección de fotón único.

La medida no concluyente óptima \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{2},{\hat{{{\Pi }}}}_{?}\}\) para estados coherentes binarios se puede realizar con un receptor Dolinar generalizado64. En esta estrategia modificada64, el receptor generalizado realiza mediciones óptimas en dos modos temporales durante el tiempo de medición 0 ≤ t ≤ 1. En el primer modo temporal, 0 ≤ t ≤ t1, el receptor óptimo no concluyente realiza una medición MESD óptima para discriminar entre \ (\{\left|\pm \alpha \right\rangle \}\) con un error mínimo usando la forma de onda de desplazamiento óptima35,36,64,66:

Aquí \({K}^{2}=| \left\langle -\alpha | \alpha \right\rangle {| }^{2}={e}^{-4| \alpha {| }^{2 }}\), p es la probabilidad previa del estado más probable, y N1(t) es el número total de fotones detectados en el primer modo hasta el tiempo t ≤ t1, donde N1(0) = 0. Nótese que durante el primer modo temporal, la fase del campo de desplazamiento LO (signo de u1(t)) cambia entre 0 y π cada vez que se detecta un fotón, similar al receptor Dolinar77. Durante la medición en el primer modo temporal, la hipótesis provisional para el estado de entrada en el tiempo t es \(\left|\alpha \right\rangle\) si N1(t) es par y \(\left|-\alpha \ right\rangle\) si N1(t) es impar. Las probabilidades provisionales para los dos estados de entrada después del primer modo temporal son \(\{{P}_{{{{\rm{C}}}}}^{(1)},1-{P}_{{ {{\rm{C}}}}}^{(1)}\}\) con:

que corresponde al límite de Helstrom para los estados coherentes \(\{\left|\pm \sqrt{{t}_{1}}\alpha \right\rangle \}\). La forma de onda óptima u1(t) en la ecuación. (2) y la evolución de la probabilidad de detección correcta PC(t) en t puede obtenerse mediante actualización bayesiana64,78,79 o control óptimo66.

En el segundo modo temporal (t1 < t ≤ 1), el receptor realiza una medición no concluyente óptima en el llamado dominio de estado único, donde PI, \({P}_{{{{\rm{C}}} }}^{(1)}\), y (1 − t1)∣α∣2 son tales que \({\hat{{{\Pi }}}}_{2}=0\)58,64. Sin pérdida de generalidad, el estado más probable es \(\left|\alpha \right\rangle\), y los elementos POVM distintos de cero son \({\hat{{{\Pi }}}}_{1} \) y \({\hat{{{\Pi }}}}_{?}\). Esta medición proyectiva no concluyente óptima en el dominio de un solo estado se puede realizar mediante un receptor tipo Dolinar con una forma de onda de desplazamiento óptima64:

donde p en la ecuación. (2) se reemplaza por la cantidad v, que depende de PI, p y ∣α∣2 64. N2(t) es el número de fotones detectados en el segundo modo con N2(t1) = 0, y N0 determina el fase del LO en t1: N0 = 0 si v > 0,5 y N0 = 1 en caso contrario.

La forma de onda de desplazamiento total para el receptor no concluyente óptimo es, por lo tanto, una combinación de u1(t) en la ecuación. (2) y u2(t) en la ecuación. (4) resultando en el desplazamiento óptimo total en Eq. (1) en el texto principal. Por lo tanto, esta estrategia implementa un receptor Dolinar estándar durante el primer modo 0 ≤ t ≤ t1, y luego un receptor similar a Dolinar durante t1 < t ≤ 1, suponiendo que los estados de entrada en t = t1 tienen probabilidades previas {v, 1 − v}64 .

En nuestra demostración experimental, los pulsos ópticos se generan a partir de un láser de helio-neón y un modulador acústico-óptico pulsado (AOM), y luego se dividen en el brazo de señal (superior) y el brazo LO (inferior), como se muestra en la Fig. 1d. Los estados de entrada se preparan con un atenuador (Att.) y un modulador de fase (PM). El campo LO está preparado por un PM con un multiplexor (MUX) y un modulador de amplitud (AM) con un convertidor de digital a analógico (DAC). El estado de entrada y el campo LO interfieren en un divisor de haz (BS) 99/1 para implementar las formas de onda de desplazamiento óptimas \(\hat{D}(u(t))\) condicionadas en eventos de detección de fotones usando un detector de fotón único (SPD). Una matriz de puertas programables en campo (FPGA) almacena la magnitud de la forma de onda óptima ∣u(t)∣ en la ecuación. (1) en la memoria, prepara la amplitud y la fase del LO condicionado en N1(t), N2(t) y N0, e implementa la estrategia para la medición no concluyente óptima. Discretizamos el tiempo t en 1024 intervalos de tiempo de 160 ns cada uno donde se puede detectar un fotón para aproximar una medición continua. Nuestra implementación logra un ancho de banda de retroalimentación de alrededor de 6 MHz, que está limitado por la latencia de salida de APD, el ancho de banda electrónico de los controladores, interruptores y FPGA, lo que representa alrededor de 50 ns y retrasos ópticos en la configuración interferométrica (100 ns). La FPGA procesa y almacena las detecciones de fotones durante estos intervalos de tiempo y envía los historiales de detección a una computadora. Reconstruimos las probabilidades de medida en post-procesamiento. La medición no concluyente óptima requiere valores muy grandes de la relación entre el número medio de fotones del campo de desplazamiento y el estado de entrada, R = ∣u(t)∣2/∣α∣2. Sin embargo, experimentalmente existe una relación máxima R que puede implementarse de forma fiable. En nuestra demostración, establecemos el máximo de esta relación en R = 50, que está limitada por la relación de extinción (≈20 dB) de la AM en el brazo LO de la configuración. El impacto de los valores finitos para R y otras imperfecciones experimentales se analizan en las Notas complementarias I y II.

Usamos un Opal Kelly ZEM4310 para controlar el experimento, que se basa en un FPGA Altera Cyclone IV y tiene una frecuencia de reloj base de 50 MHz. Discretizamos las mediciones de discriminación en 1024 intervalos de tiempo de 160 ns cada uno, de modo que un solo disparo del experimento corresponde a un pulso de 163,8 μs de largo. La magnitud de la forma de onda LO para cada uno de los 1024 intervalos de tiempo se calcula previamente para cada ∣α∣2 y probabilidad no concluyente PI y se almacena en una tabla de búsqueda dentro de la FPGA como un valor de 8 bits. La fase del LO cambia entre 0 y π cada vez que se detecta un fotón. Este método para preparar la forma de onda LO óptima dada por la ecuación. (1) nos permite implementar de manera eficiente la medición no concluyente óptima deseada en nuestra demostración.

La estrategia óptima no concluyente requiere un control preciso y rápido de la fase LO. Controlamos la fase del LO cambiando el voltaje aplicado al modulador de fase entre dos valores que corresponden a una fase de 0 y una fase de π. Cada vez que cambia la fase del LO, ignoramos la salida del APD durante 160 ns para evitar detecciones accidentales de fotones. Este "tiempo de supresión" se obtiene observando que el tiempo de retraso eléctrico y óptico combinado entre el cambio del voltaje de modulación y la observación de los fotones correspondientes en el APD es ~150 ns. Esto también tiene la ventaja de reducir la probabilidad efectiva de pulsación posterior a casi cero. Por lo general, la probabilidad de detectar un pulso posterior es máxima inmediatamente después del tiempo muerto del APD (≈40 ns para nuestra implementación), pero esta probabilidad decae rápidamente con el tiempo. Observamos que sin ningún tipo de supresión, la probabilidad acumulada de pulsación posterior de nuestro APD es PAP ≈ 0,015 y PAP < 0,001 con 100 ns de supresión.

Para mantener una fase relativa bien definida entre la señal y los campos LO, estabilizamos activamente el interferómetro. Ejecutamos los experimentos con una tasa de repetición de 4 kHz para dar un ciclo de trabajo experimental de ≈66 % (tiempo de experimento de ≈165 μs, tiempo de bloqueo de ≈91 μs). Durante la parte del ciclo de trabajo experimental cuando el experimento no se lleva a cabo, la fase relativa entre los dos brazos de la configuración interferométrica se estabilizó activamente con un circuito de retroalimentación usando un controlador PID y un piezoeléctrico en la parte posterior de un espejo en el brazo de señal. , consulte la Fig. 2. Obtenemos la señal de error para la estabilización del interferómetro utilizando un láser de banda estrecha a 780 nm, que se estabiliza activamente en frecuencia a una línea atómica en rubidio utilizando espectroscopia de absorción saturada. La luz de este láser se propaga en dirección opuesta a través del interferómetro en comparación con la luz de 633 nm y se detecta con un detector diferencial para medir las fluctuaciones de fase. Un poco antes de que comience la medición de discriminación, el circuito de retroalimentación se detiene y el voltaje al piezoeléctrico se fija en su valor actual. El ciclo de retroalimentación de estabilización se reanuda después de que se completa la medición de discriminación.

La configuración utiliza moduladores electroópticos de amplitud y fase de niobato de litio acoplados a fibra (AM y PM), con un ancho de banda de 3 dB de ≈1 GHz. Los moduladores de fase (PM) tienen un voltaje π de Vπ = 1,5 V y el modulador de amplitud (AM) tiene un voltaje π de Vπ = 750 mV con una relación de extinción de ≈20 dB. La amplitud y la fase del LO y la fase de los campos de la señal se ajustan mediante tres convertidores de digital a analógico (DAC) de 8 bits, circuitos de ganancia controlados por voltaje y amplificadores sumadores.

Los datos que respaldan los hallazgos de este estudio están disponibles a los autores previa solicitud.

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Este trabajo fue apoyado por la Fundación Nacional de Ciencias (NSF) (PHY-1653670 y PHY-2210447).

Centro de Información y Control Cuánticos, Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Nuevo México, Albuquerque, NM, 87131, EE. UU.

MT DiMario y FE Ternero

Joint Quantum Institute, Instituto Nacional de Estándares y Tecnología y la Universidad de Maryland, College Park, MD, 20742, EE. UU.

MT DiMario

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FEB supervisó el trabajo. MTD diseñó la implementación experimental y realizó las mediciones. Todos los autores contribuyeron al análisis de los resultados teóricos y experimentales, concibieron la idea de generalizar la medición no concluyente a dimensiones superiores y contribuyeron a la redacción del manuscrito.

Correspondencia a FE Becerra.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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DiMario, MT, Becerra, FE Demostración de medición no proyectiva óptima de estados coherentes binarios con conteo de fotones. npj Quantum Inf 8, 84 (2022). https://doi.org/10.1038/s41534-022-00595-3

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Recibido: 08 Octubre 2021

Aceptado: 24 junio 2022

Publicado: 18 julio 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41534-022-00595-3

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